Bolyai János (Kolozsvár, 1802. december 15. – Marosvásárhely, 1860. január 27.) az egyik leghíresebb magyar matematikus, a „geometria Kopernikusza,” „az erdélyi tudományosság legkiemelkedőbb képviselője.” 1831-ben megjelent Appendix című művével megalkotta a nemeuklideszi geometriát, amelyek nélkülözhetetlen alapot jelentettek a 20. század fizikai elméletei számára. Ő maga is szorgalmazta egy nemeuklidészi alapokra helyezett mechanika kidolgozását, azaz „majdnem egy évszázaddal Einstein előtt megfogalmazta Einstein gravitációértelmezésének a célkitűzését." A komplex számok, a számelmélet, illetve az algebrai egyenletek témakörében folytatott kutatásai kéziratban maradtak ugyan, és csak jóval később kezdődött meg feldolgozásuk, azonban mai szemmel nézve is igen figyelemre méltóak.

Apai nagyszülei, bolyai Bolyai Gáspár és Pávai Vajna Krisztina révén magyar-székely, anyai nagyszülei, Árkosi Benkő József és Bachmann Júlia által magyar-szász származású. Kolozsváron született, ahol szülőháza ma is látható, pár lépésre a város főterétől. Szülei Bolyai Farkas matematikus és író, illetve Benkő Zsuzsanna első gyermekeként született, egyetlen húga kisgyermek korában meghalt. Már gyermekkorában jelét adta nem mindennapi képességeinek. Hét évesen németül és hegedülni kezdett tanulni. Eleinte apja, majd a marosvásárhelyi kollégium felső osztályos diákjai tanították. 1814-ben, azaz tizenkét évesen íratták be a kollégiumba, ahol rögtön a negyedik osztályba került, és 1817-ben évfolyamelsőként tette le a záróvizsgát.

Bolyai Farkasnak az volt az elképzelése, hogy fiát a göttingeni egyetemre küldi, ahol ő maga is tanult, és ehhez barátja, az akkor már világhírű Gauss segítségét kérte. Mivel Gauss a levélre nem válaszolt, Bolyai János 1818-ban a bécsi hadmérnöki akadémiára felvételizett. Taníttatásának költségeit báró Kemény Miklós vállalta, utóbb báró Kendeffy Ádám is hozzájárult. A választott intézményt illetően elég hamar csalódnia kellett: matematikát csak az első két évben tanultak, és számtalan olyan kötelezettségnek kellett eleget tennie, amelyek untatták.
Ebben az időben kezdte el a párhuzamosok tanulmányozását; a matematika mellett a másik kedves időtöltése a zene volt. Az akadémiát 1822 szeptemberében kiváló eredménnyel fejezte be, ezt követően mérnökkari tisztjelöltként még egy évig a katonai építészmérnökök szaktantárgyait tanulta. 1823-ban alhadnagyi rangban a temesvári erődítési igazgatóságra küldték, 1826 áprilisától pedig az aradi erődítési igazgatóságon dolgozott, ahol 1827-ben főhadnaggyá léptették elő. 1827 végén-1828 elején betegségét követően Marosvásárhelyre utazott lábadozni, de 1828 második felében is sokat szenvedett a maláriától. 1828-ban Nagyváradon, 1829-ben Szegeden végzett katonai felméréseket. 1831 májusától Lembergben a galíciai főhadparancsnokság lembergi kerületi műszaki és erődítési igazgatóság mérnöktisztjeként szolgált másodosztályú kapitányi rangban, majd 1832-ben Olmützbe helyezték. Útban Olmütz felé balesetet szenvedett, amelynek következtében több mint egy hónapig agyrázkódással kezelték.

1833-ban betegsége miatt nyugdíjazását kérte, amit a „kilátással a későbbi visszahelyezésre” megjegyzéssel kapott meg. Ekkor visszatért Marosvásárhelyre, ahol özvegy édesapjával lakott közös háztartásban. 1834-ben kiköltözött a család domáldi birtokára, ahol gazdálkodással foglalkozott, emellett újból nekilátott a matematikai kutatásoknak. Gazdasszonya a kurtanemesi családból származó Kibédi Orbán Rozália volt, aki két gyermeket ís szült neki: Dénest (1837–1913) és Amáliát (1840–1893).
1845-ben Bolyai Farkas másnak adta bérbe a családi birtokot, mivel úgy találta, hogy fia elhanyagolja a gazdaságot, így 1846 elején Bolyai János visszaköltözött Marosvásárhelyre. Ezzel a lépéssel anyagilag elég rossz helyzetbe került, mivel a nyugdíja alacsony volt.

1848-ban a magyar hadügyminisztérium felhívást tett közzé a szolgálaton kívüli és nyugalomba helyezett katonatisztek számára, hogy lépjenek be a honvédségbe; az erdélyi közvélemény is azt várta Bolyaitól, hogy katonai feladatot vállaljon. Bolyai, noha azonosult a forradalom törekvéseivel, betegsége miatt nem vállalta a hadi szolgálatot.

1849 májusában házasságot kötött élettársával, Orbán Rozáliával; ezt előzőleg a katonatisztek számára előírt kaució hiánya miatt nem tudta megtenni. Júniusban levelet írt Kossuth Lajosnak, amelyben felajánlotta szolgálatait a kormánynak, amelytől azt várta, hogy az ország jóléte érdekében megvalósítja az ő elképzeléseit; a beadvány további sorsa nem ismert, elképzelhető, hogy Bolyai végül is nem küldte el.

1852-ben elvált feleségétől és egy bérelt szobába költözött. 1860 januárjában tüdőgyulladást és agyhártyagyulladást kapott, de azt megelőzően is hosszasan betegeskedett. 1860. január 27-én halt meg.

Hagyatéka Bolyai Farkaséval együtt a marosvásárhelyi Teleki-Bolyai Könyvtárban található.